The idea for the following essay was born out of the same question: "heh, heh, heh, what is the joint correlation index when one has 3 or more time series to compare? "

The answer given by mathematicians and other autistic quants leads to a "correlation matrix" and the formula used

by econometrists R² = c' * R_xx⁻¹ * c where: c' is the transpose vector of correlations involving the dependent variable

and the independent variables, R_xx⁻¹ is the inverse matrix of the correlations among the independent variables

only and c is the vector of correlations involving the independent variable and the independent variables.

So far, so good. The main pitfall and flaw behind this formula lays on the fact that at least one of the "series" or "variables" to be analyzed has to be dependent. Furthermore, the formula is not conmutative.

But what if we want to deploy a conmutative formula assuming total independence about the birth of the n series targeted to study... The solution is not far away. The Pearson product has the answer...

The original formula was thought for 2 series, it reads:

Covariance (ab)/(σa * σb) = ρ Even if we want a Pearson product for a lonesome series, the formula holds on tight by respecting its attribute...

Covariance (aa)/(σa * σa) = ρ Both the upper factor and the lower factor are always SECOND DEGREE.

if we have 3 series:

Covariance (abc) = Σ ±[(ai – A)*(bi – B)*(ci – C)]^(2/3)

                                  --------------------------------------------------

                                                                n -1

if we have k series:

 Covariance (abc...k) = Σ ±[(ai – A)*(bi – B)*(ci – C)*...*(ki – K)]^(2/k)

                                     -------------------------------------------------------------

                                                                      n -1

where ai, bi ci and ki are data at the same time, A, B, C and K are the averages of each series, k is the number of series and n is the number of summands.

The trick behind this algorithm is to keep the accurate “+” or “-” after the conversion of the product. Noteworthy, the conversion has to be deployed on the absolute values...

So therefore, the correlation for both examples would remain:

  ρ(a,b,c) = Covariance (abc)                           

              -------------------------

                 (σa*σb*σc)^2/3

ρ(a,b,c...k) = Covariance (abc...k)

              ---------------------------

               (σa*σb*σc*...σk)^2/k

Part 2 of this essay will render nummerical examples based upon all of the above.

Sources: Riskmetrics Group, Bloomberg, Chicago Mercantile Exchange Group, RiskCenter, Investopedia, Wikipedia and MIT-OCW

Desde siempre hemos querido anticipar o averiguar el futuro, en particular, aquel concerniente a los precios por venir de los activos negociados en bolsa de valores o aquellos de los cuales tenemos una buena base de datos histórica de sus fluctuaciones.

En esta oportunidad vamos a meternos con los MODELOS ESTOCÁSTICOS para explicar el comportamiento futuro de un valor St a partir de su pasado y el cual es univariante.  Se elige esta clase de modelos pués las series temporales están rodeadas de incertidumbre y su distribución suele ser arbitraria no cumpliendo con los atributos y parámetros exigidos por los otros MODELOS CUANTITATIVOS.

1. El proceso de Wiener (Wt).  Primero se debe calcular el desviado estocástico.  Wt = (Xt-μt) /σ   donde: Xt el último factor de variación conocido,  μt el promedio histórico de las variaciones y σ la desviación típica .  Todo esto en términos de TIEMPO CONTINUO.

2. El movimiento Browniano viene dado por la siguiente expresión en donde todos los argumentos están calculados en TIEMPO CONTINUO:  [(μ -σ^2/2)*t + (Xt-μt)]

3. Convertirlo de TIEMPO CONTINUO A TIEMPO DISCRETO utilizando la constante de Euler: e 

4. Así las cosas, el MOVIMIENTO BROWNIANO GEOMÉTRICO queda:   St = So * e ^ [(μ -σ^2/2)*t + (Xt-μt)] donde So es el valor de la variable inmediatamente anterior a St

5. Todo lo anterior debe cumplir la siguiente ecuación diferencial estocástica:   dSt = μ*So*dt + σ*St*dWt   donde: dSt = St - So y dWt = Wt - Wo.  Todo esto también en TIEMPO CONTINUO.

La fórmula anterior debe aplicarse tal cual cuando se conocen los valores de todas la variables, incluido St.  Pero que ocurre cuando no se conoce St porque el evento no ha sucedido y queremos pronosticarlo?

Pueden aplicarse las siguientes variantes: al momento de calcular Wt se calcularán 2 valores usando el Xt máximo y el Xt mínimo de todos los tiempos.  Los demás argumentos se calculan a partir del muestreo.

>Ejemplo:  2 días variaciones en el precio de la acción de la compañía CONSTRUCCIONES CHARCA LARGA la periodicidad es de días laborables.  De esas 1066 observaciones se encontró que la subida máxima correspondió a:9.19358686771401%                                            y la peor caída: -8.6844760456996%

Calcular la martingala para el día de mañana teniendo en cuenta que el último precio conocido (So) es $9969,77

Primero hay que convertir los 2 factores a tiempo continuo según la fórmula ln(1+r) y poder calcular lo demás.

Xtmin= -0.090849380482867 , Xtmax= 0.0879521472804962  promedio muestral = 0.0000537462567719339 , varianza muestral = 0.000221555824970843 y ahora a aplicar la fórmula con t = 1

Stmin = 9969,77*0.91305408771459 =  9102,94  y Stmax = 9969,77*1.09181491300077= 10885,14

Las martingalas están dentro de los valores acorde a la media y los estimadores observados no resultan ser del todo o nada.  Vamos ahora al modelo básico de proceso estocástico de reversión hacia el promedio.

Mt = (μ -σ^2 /2)*t + [σ*((n+1)/n)^1/2]  y  Mt =  (μ -σ^2 /2)*t - [σ*((n+1)/n)^1/2]

Nótese  como la desviación típica para el siguiente suceso no está en función del tiempo sino de los datos empleados a diferencia del modelo original.  Las nuevas martingalas serían: 9789,11 y 10152,61.  Se reduce todavía más el rango del intervalo.

En el próximo artículo retomamos los modelos probabilísticos y usaremos el VALOR EN RIESGO como herramienta para el cálculo de una martingala.

Fuentes:  Riskmetrics Group, Bloomberg, Chicago Mercantile Exchange Group, RiskCenter, Investopedia, Wikipedia y MIT-OCW

It has been long ago since our last gathering.  I am writing the following notes to clear up a misunderstanding arising when the common student is pricing or appraising a business -either a company or a financial asset- with variable net cash flows and a well-known end.

We have to blend the classical formula for both -present value and future value- with the Gordon Growth Model. The conventional formula states that the installments will always be the same during the life of the venture, this is, they are always a constant numerical value

PV =PMT*[1-(1+r)^-t/(r)]   or  FV = PMT*[(1+r)^t-1/(r)]  Hey!  But what happens if PMT IS NOT CONSTANT??

Well, we will have to overhaul and to reprise the theories, formulas and laws by William Baumol, Stephen Ross and Myron Gordon.  What you are about to read is merely a patchwork!

PV=PMT*[1-(1+r/1+g)^-t / (r-g)]  or                                                                                                                 FV = PMT*[(1+r)^t-(1+g)^t / (r-g)]

Where: PV is an unknown present value, FV is an uncertain future value, r is a chosen discount rate, t is Time or a  number of payments set up on purpose, PMT is the first installment/payment as an income or outcome and g is a rate at which PMT changes all accross the lifetime of the net cash flow.

So thus, the only new argument added was "g" and among its attributes: is not constant, has to be calculated over and over because g is often referred as a geometric historical average and finally, has to be related to r in terms of accrued periods.

An easy example:  SELF CENTERED SOCIETY is hired to carry out a due dilligence process for ICU, Inc.  After several researches the following information is found out.  The net cash flow for the next year is expected to be 500k, the historical rate of change in percentage is 5% per year, with the current assets and forthcoming market conditions ICU is expected to last 20 years and the discount rate applied to ICU operations is fixed at 10%

Question: PV of ICU with and without g?  Answers as follow:

PV=500*[1-(1.1)^-20/(0.1)]=4256.78186k or                                                                                                       PV=500*[1-(1.1/1.05)^-20/(0.1-0.05)]=6056.042028k

On a regular basis, the agents work under uncertainty about the net cash flow collected by the shareholder.  The formula involving a change factor is the right one.  The original formula only works on a fixed scheme where all of the payments -from first to last- are already well known like in a "treasury", bank note or government bond.

Thank you very much for your patience!    

Con varios ejemplos se ilustra a continuación el cálculo de los valores para cada fórmula.  Se va a analizar el desempeño de un contrato futuro y de una opción call y de una opción put sobre acciones de una reconocida empresa transnacional del sector de las Telecomunicaciones.

Todos los derivados con fecha de vencimiento: 18-XII-2009. Los precios al contado, a futuro y primas por acción que a continuación se apuntan corresponden a los precios de cierre de los primeros días de Septiembre 2009, del primero al último.

CONTADO: 17.20, 17.38, 17.28, 17.45, 18.62  FUTURO: 16.75, 16.89, 17.77,17.88, 18.33

PRIMA COMPRA: 1.04, 0.96, 0.76, 0.77, 0.7  PRIMA VENTA: 1.42, 1.58, 1.27, 1.15, 0.85                                                                                En ambos casos el precio de ejercicio es 18 al vencimiento.  Información extraída de: www.meff.es

DESVIACIÓN TÍPICA: 0, 0.127279220613578, 0.0901849950564577, 0.109962114688044, 0.585815670667831

TIPO DE INTERÉS LIBRE DE RIESGO: 1.08%, 1.06%, 1.07%, 1.05%, 1.01% ANUAL (convertir a tipo diario)

OMEGA (sólo futuros) : (16.89-16.75)/(17.38-17.20)= 0.777777777777782 y días siguientes: -8.8, 0.6471, 0.3846

DELTA COMPRA: -0.44444, 2, 0.0588235, -0.0598291     DELTA VENTA: 0.88889, 3.1, -0.70588, -0.25641

LAMBDA COMPRA: -7.350, 36.208, 1.3375, -1.3559       LAMBDA VENTA: 10.767, 34.1, -9.60445, -3.8907

THETA COMPRA: 0.068  THETA VENTA: 0.114 (Se ha calculado para el acumulado de 5 días) 

VEGA COMPRA: -0.62854, 5.39167, 0.50563, -0.1471  VEGA VENTA: 1.25708, 8.35709, -6.06762, -0.63045

RHO COMPRA: 147557.90, -737753.09, -18442.92, 64531.1  RHO VENTA: -295115.79, -1143517.28, 221315.01, 276561.86  (medida poco usada pués el factor tipo ya viene implícito en las primas y contados)

GAMMA COMPRA: -2.4691, -20, 0.3460, -0.0511  GAMMA VENTA: 4.9383, -31, -4.1522, -0.2192

Así pués, se han calculado los guarismos para las letras griegas de FUTUROS Y OPCIONES. Por restricciones de espacio no se publican el total de las operaciones para llegar a estos resultados, basta con desarrollar la fórmula aritméticamente.

La razón de ser de estos cocientes es determinar un patrón o tendencia que nos indique una probable dirección en el precio del derivado para establecer que posición tomar a efectos de arbitraje o cobertura.

Para concluir esta serie sobre indicadores para la medición y evaluación del desempeño de una inversión y la pericia de sus administradores, vamos a tratar en este artículo el COCIENTE DE VALORACIÓN. Es otra razón de diágnostico que divide la rentabilidad por exceso o defecto con respecto a la VOLATILIDAD RESIDUAL de la cartera, fondo, negocio o activo sujeto a avalúo.

La fórmula dice: CV = α/σe Donde: CV es el guarismo para el cociente de valoración, α es el valor para la variable de Jensen y σe es el valor para la volatidad residual.

Descomponiendo, se tiene que: α/σe = {Ra - [rf+β*(Km-rf)]} / [σa^2-(σm*β)^2]^0.5

En donde: Ra es el valor para la última rentabilidad conocida del activo o portafolio o negocio avaluado, rf es la tasa libre de riesgo del mercado bursátil si resulta aplicable sino la de la Economía, β es el cociente de apalancamiento, Km es la última rentabilidad de todo el mercado bursátil si resulta aplicable sino la de la Economía, σa es la volatilidad de las rentabilidades para el activo o portafolio o negocio avaluado, σm es la volatilidad de todo el mercado bursátil si resulta aplicable sino la de la Economía.

Al igual que el ERROR DE PISTEO O SEGUIMIENTO, EL COCIENTE DE INFORMACIÓN, EL COCIENTE DE SHARPE Y EL COCIENTE DE TREYNOR; el presente indicador también arroja claves e indicios acerca de la buena o mala gestión por parte de los administradores o gerentes de una inversión.

Como se puede apreciar y deducir a partir de la fórmula, el cociente no puede tomar valores negativos y es necesario compararlo y contrastarlo con otras alternativas y tener muy en cuenta que cuanto más se aproxime a 0 peor es el desempeño o bien de la inversión o bien de los encargados.

Ejemplo con datos aleatorios: Los directivos de la firma ASERRUCHAR tras 1 año de gestión con acciones de la empresa CONCORDATO han obtenido tras la venta de su participación una rentabilidad neta del 10% (incluyendo dividendos, descontando impuestos y gastos de gestión) , la tasa libre de riesgo del mercado bursátil para igual periodo fue del 5% y la de este mercado consolidado del 9% en igual periodo. El cociente de apalancamiento entre la inversión y el mercado fue del 0.75, la volatilidad de la inversión diaria igual a 0.0000008942, la volatilidad diaria del mercado bursátil 0.00000007659. A partir de estos datos calcular el cociente de valoración.

Primero hay que anualizar las volatilidades. Esto se logra multiplicando los valores cada uno por la raíz cuadrada de 365 y así obtendríamos: 0.00001708366701 y 0.000001463249895 . Luego la volatilidad residual sería igual a (0.0000000002918516785 - 0.000000000001204368894)^0.5 = 0.00001704838144

Calculada la volatilidad residual, el siguiente paso es saber el valor de la variable de Jensen. Reemplazando en la fórmula: (0.1)-0.05+0.75*(0.09-0.05) = 0.02

El Cociente De Valoración = 1173.131894. Hay que compararlo con cocientes de periodos anteriores o inversiones alternativas en el mismo periodo para determinar la pericia e idoneidad de los gestores. La cifra por si sola no indica maldad o bondad ni del activo ni de los responsables.

Hasta Pronto

Prosiguiendo con los indicadores y como complemento del ERROR DE SEGUIMIENTO O ERROR DE PISTEO surge una razón muy útil para medir la eficiencia de un activo o portafolio y de paso evaluar la proactividad y competitividad de los gestores o administradores.  El Cociente De Información.

La fórmula, nos dice:  Ra* - Ri*/ σ(ra,ri)   en donde:  Ra* - Ri* es la diferencia entre las rentabilidades medias del activo o portafolio y el índice o cartera de referencia y σ(ra,ri) es el Error De Seguimiento O Error De Pisteo.

En activos positiva y perfectamente correlacionados con un índice o cartera de referencia, el Cociente De Información es igual a infinito (0/0).  A continuación un ejemplo con datos ficticios y tan solo 5 rentabilidades.  El fondo ASERRUCHAR y el índice de bolsa SCS

1% y 0.9%,  0.875% y 0.899%, 0.652% y 0.712%, 0.743% y 0.698%, 0.459% y 0.536%.  La rentabilidad media para cada serie es de 0.7458% en el caso ASERRUCHAR y 0.749% para el índice SCS.  La diferencia = -0.0032%

Ahora el cálculo del ERROR DE SEGUIMIENTO O ERROR DE PISTEO, el cual es esencialmente una volatilidad o desviación típica en diferencias.  {[(0.01-0.009)^2+(0.00875-0.00899)^2+(0.00652-0.00712)^2+(0.00743-0.00698)^2+(0.00459-0.00536)^2]/5}^0.5 = 0,0665281895139196%

Obtenidos los guarismos y en el ejemplo el COCIENTE DE INFORMACIÓN es igual a:  -0.032% /  0,0665281895139196%

=-0,0480999110810095    Un desempeño bastante ineficente con respecto al índice que se pretende replicar o superar.

Gracias Y Hasta La Próxima! 

En fondos de inversión o en portafolios indexados a cierto activo o guarismo de referencia, resultaría siempre muy útil saber si nuestra cartera está perfectamente sincronizada y en sintonía con cada movimiento de tal índice de referencia.  

Una herramienta muy útil a la hora de medir la eficacia de un fondo o portafolio de activos que pretende replicar un índice o algún activo en particular es el ERROR DE SEGUIMIENTO O ERROR DE PISTEO.

Así como podemos calcular la volatilidad histórica de un valor con respecto a sí mismo. El error de seguimiento o de pisteo nos ofrecería una volatilidad cruzada entre las rentabilidades o variaciones en los precios de referencia entre nuestra inversión y un índice de referencia. Ejemplo: un fondo indexado al NASDAQ versus el índice NASDAQ.

La fórmula reza: { Σ[(Ai-Mi)^2] /n}^0.5 no es más que una variante de la fórmula clásica para la desviación típica, donde: Σ[(Ai-Mi)^2] es la sumatoria del diferencial de segundo grado para la rentabilidad entre el activo A en el instante i y el índice M en el instante i y n es el número de datos de la muestra o serie temporal total.

Si hay perfección el valor del error tiene que ser = 0 y por lo tanto las correlaciones (PEARSON & SPEARMAN) = 1 entonces la cartera replica perfectamente cada moviemiento del índice. Si la correlación es igual a -1 el valor del error > 0, pero no por ello la replica es imperfecta; siendo inversamente perfecta para productos financieros que cotizan a la inversa del índice de referencia en mercados bajistas.

El intervalo numérico para posibles valores del ERROR DE SEGUIMIENTO O ERROR DE PISTEO = ]0, ∞-k]

Obviamente cuanto más se aleja el valor del error del cero absoluto resulta menos precisa la réplica y menos eficiente nuestra cartera o fondo de inversión con respecto al índice que pretende copiar.

Hasta la próxima!

Due to the realism and pragmatism demmanded by the matter in question I will leave conventional theories aside by outlining the current flaws, pitfalls and blunders featured all over first floor banks.

Facts and practices caused by several loopholes surrounding Basel Agreements. Then solutions with a minimum inflationary effect or punishment to taxpayers.

-Under the current regulation a bank or financial institution allowed to perform passive operations (borrowing from everybody) may eventually employ a financial leverage with a factor equal to 12 against its equity.

-Under the old regulation such a leverage was equal to 8, maximum. Both factors are quite wide and they could lead to moral hazard by making legal Ponzi Games, Pyramid Building and Multilevel barters when a bank has no true refund/reimbursement ability since long ago, actually.

-When a financial corporation fails and files for bankruptcy the local government or the central bank shoot in a lot of funds belonging to taxpayers by this way substracting resources budgeted for welfare benefits, increasing the amount of monetary base in the financial markets and not increasing the purchasing power of the people. Outcome: Wealth in a few hands and a later inflation phenomenon.

-Embedded Investments. The funds not available for anything other than to guarantee payback to savers and creditors. In some countries might cause a constraint against the market cash flow.

-Contingencies for Unretrievable Account's Receivables. Such provisions are excellent but do they really have a cash warranty in the corporation's equity?

How to supply liquidity by solving the above outlined features?

Over The Counter (OTC) operations and Underground Economy. If the stock traded is listed on a market, the forward or warrant contracts must be exercised at such a bourse.

The latter matter has to be solved through crime enforcement law against hoax, embezzlement and tax evation. Moral hazard and its arising damage should be deemed with imprisonment.

The savings and loans business should behave in the same way a future contract does. There is leverage but it is narrower than that allowed to banks currently. So, the leverage factor should be decreased to 6 as a maximum. Likewise, Shareholders or Owners of Financial Corporations will must supply performance bonds in order to keep grabbing other's people money.

If a bank fails to provide performance bonds to guarantee creditors and savers money. It has to be locked or forbidden to accept further cash out of third party hands.

If the bankruptcy feature shows up. The pattern to follow has to be equal to that with Mutual Investment Funds. The broke bank has to be acquired or merged with one in good operability situation.

No rescue. No ransom. From either the Central Bank or the National Government.

Embedded Investments. They should be in a range between >> 0 and <<0.15. Linked to daily cash needs in any given financial corporation. Not as a warranty measure.

Contingencies for Unretrievable Account's Receivables. They should be covered with economic capital belonging to real taxable equity rather than as an expense in advance merely for accountability procedures.

Opening borders to final customers so they can get loans from abroad with no noisy costs, levies, tariffs or fines set up by the local authority. As well as, handling with personal foreign currency accounts overseas.

Surveillance over bank spreads. In some countries a given reference spread is as wide as 20 points, a felony in an efficient, competitive market.

The Country's Central Bank buying foreign currencies, Bonds and other debt issued by its National Government. An equivalent maneuver is perfomed through Open Market Operations.

The National Government performing a buy-back on old issued bonds and debt in general.

BIS, IMF, WB suggesting Central Banks all over the world to decrease overnight funds rate. It is preferable a low unemployment rate with a moderate inflation and not the contrary fact.

See you soon! 

Although it is a personal policy staying away from hot, burning issues.  This situation demmands some tasks and answers to reach solutions affecting THE MARKET as a whole.

It seems that those lessons painfully taught back in 1929, 1973 and 1987 were not learned by both investors and brokers. This crisis has 2 fundamental foundations. On the one hand, the real economy delivering a growing trend of oil and energy prices due to speculation rather than a structural shortage of production. A trend that eventually pumped up transports costs, utilities and manufacturing costs in general; binding corporations and companies to rise final prices. On the other hand, the financial markets gave birth to a couple of financial debt instruments called CDS (credit default swaps) and CDO (collateral debt obligations).

CDS and CDO turned out to be disguised "junk bonds" basically by blending good will mortgages -a few of them- with NINJA (borrowers with No Income, No Job or Assets) mortgages -a large amount of them- plus a lot of naive savers and greedy but blind investors willing to buy such alluring masterkeys to wealth. Nevertheless, most of the holders neglected or simply unknew a financial principle and law: the greater the risk, the greater the potential profit.

The risk behind CDS and CDO was due to a lack of a proper warranty other than the houses and buildings themselves. Given the fact that the real estate market was heavily overvalued; most of the holders realized that they had bought a very expensive asset and cash needs were claiming to close positions. By closing, the volume sold of "junk bonds" by large market makers dragged down the whole financial markets so thus, leading the booming prices on commodities and raw materials to an expected crash.

How this situation happened? Well, both perfect competition and efficient markets exist in economics books, only. This was real life and a 90% of world economy is based on finance rather than an economy driven by goods & services.

On the real economy front, we can find the following practices: Speculation by withholding amounts of fuel, electrical power, commodities and raw materials. Cartels and oligopolies. Lack of regulation or a lawful punishment about practices against gambling with first need goods.

On the financial front, we can suffer the following behavior: Fraud by misleading information, lack of performance bonds (real warranties) guaranting the return of the facial value. Not enough technical equity available to perform some operations. Government´s patronage with taxpayers´ funds. Lack of criminal laws prosecuting ventures and corporate gunslingers performing large-scale grifts.

All and all, cheap loans are going to be available to the same institutions causing this recession. Taxpayers' money will be used to rescue transnational banks and enterprises but no money will be provided to help customers in broke, swindled or facing difficulties to honor their mortgages. Employments are destroyed at an outrageous rate and welfare benefits are scarce or vanished since long ago.

Laws and a financial stimulous retrieving the customer´s trust and other related measures increasing its purchasing power are desperately requested.

See you soon!

Un ejemplo para ilustrar el híbrido entre el modelo CAPM Y FAMA-FRENCH. Dado: Ra = Rf + βa*(Km-Rf) + α 

Las acciones de la firma ASERRUCHAR presentan una desvalorización intradía de -1,2051002214865%, la variación intradía del indice de referencia es de -2,5237493110268%.  El día anterior las cifras respectivas fueron -1,98414127677132% y -0,476530363322103. Resolver Y Probar el modelo.

Primero hemos de calcular COVARIANZA para (Ra,RM) y la varianza para Rm y poder calcular βa.  Esos valores son: cov(ra,rm) =  0,0000398721002774095 y varianza para Rm = 0,000104780464473044.  βa = cov(ra,rm)/varianza(rm) = 0,380529905817197

Ahora procede calcular Rf según la siguiente expresión: (Ra-Rf)/βa = (Rm-Rf)/βm.  Entonces:

(-0,012051002214865-Rf)/0,380529905817197 = (-0,025237493110268-Rf)/1 y despejando tenemos que Rf = arroja un valor negativo. Lo cual no se acepta por absurdo en este caso se toma entonces por defecto el tipo que pagaría el banco central por operaciones a 1 día en este caso = 0

 -0,012051002214865=0 + 0,380529905817197*(-0,025237493110268 - 0) + -0,00244738133855256

Nuevamente se recomienda por ortodoxia y pragmatismo no usar como indice de rentabilidad del mercado, el índice de accionario o bursátil común, pues estos no incluyen la totalidad de activos tranasados. Siendo lo ideal uno que si los incluya todos o las variaciones pueden calcularse a partir del cambio de volúmenes consolidados negociados en bolsa. 

 Si el activo a valorar no negocia en mercado electrónico organizado se ha de tomar como referencia la rentabilidad de la economía en su conjunto: variaciones en el PIB en términos nominales.

El tipo libre de riesgo como acabamos de ver en el ejemplo no puede ser negativo. Es un valor > o =0 pero <Rm, si Rm es positivo. El alpha de Jenssen o α es un valor que incluye las varaibles que deberían tenerse en cuenta y no se incluyeron en el modelo. Sirve como variable de enchufe entre el valor calculado y el valor real.

Al igual que con los modelos heurísticos, este modelo solo debe usarse para simular el pasado. Siempre y cuando los datos hagan parte del conjunto. Es erróneo y temerario usarlo como modelo de pronóstico.

 En el ejemplo lo hemos usado para un caso puntual pero también puede desplegarse vía regresión lineal por el método de mínimos cuadrados ordinarios. Asumiendo que los datos causados y pasados condicionen el último valor.

Gracias y Hasta La Próxima!

DONDE: Ra es la rentabilidad causada o esperada de un activo cualquiera, Rf la tasa o tipo libre de riesgo del mercado (NO EL VALOR DE REFERENCIA DEL BANCO CENTRAL), Rm es la rentabilidad del conjunto o indice al cual pertenece el activo, β es el coeficiente de apalancamiento y α es el alfa de Jenssen (riesgo de evento)

Algunos profesionales y académicos utilizan temerariamente este modelo para predecir rentabilidades futuras sin tener en cuenta que es de naturaleza HEURÍSTICA y sólo sirve para explicar situaciones pasadas. He ahí una de las falacias del modelo.

Numéricamente y al ejecutar el modelo, sólo el valor de β y α son diferentes dado un conjunto de activos. Mientras el segundo es un dato aleatorio, el primero puede calcularse de 3 maneras: 1.Desarrollando la fórmula donde          β = covarianza(ra,rm) / varianza(rm)  2.Vía regresión lineal aplicando Mínimos Cuadrados Ordinarios. 3.Despejando el modelo y dejando las demás variables en función de β

Considerando que el modelo no era completo los doctores Eugene Fama y Kenneth French ofrecieron una alternativa más larga y compleja del modelo pero quizás redundante, a continuación el esquema planteado por ellos.

Ra = Rf + βm*(Km-Rf) + bs*SMB + bv*HML + α

Donde: βm es el coeficiente de apalancamiento entre el activo y el mercado bursátil en total no un índice o un conjunto, SMB es el diferencial de rentabilidades entre los activos de baja capitalización y los de mayor capitalización, HML es el diferencial entre los activos con Q-Tobin mayor y los activos con Q-Tobin baja, bs y bv son los coeficientes de apalancamiento(βs) entre el activo y los valores para SMB y HML.

Este modelo si bien es más completo que el CAPM es más dispendioso y más subjetivo en la elección de variables pués SMB y HML no cumplen los mismos requisitos para todos los mercados, si bien el cálculo es igual, su elección no se fundamenta en parámetros o criterios matemáticos generales sino en imperativos jurídicos.

Por otro lado, al incluir la variable Km lo demás resultaría redundante. Así planteado el nuevo modelo se leería: Ra = Rf + βm*(Km-Rf) + α Si el activo que vamos a explicar no se encuentra cotizado o transado en bolsa o mercado electronico; Km será la rentabilidad de la economía en su conjunto en términos nominales y Rf es Km con volatilidad cero.

Felices Fiestas!

Dice un axioma del mercado: "El valor justo de una acción es lo que se está dispuesto a pagar por ella" y análogamente como ocurre con la  renta fija (letras, títulos del tesoro, bonos y certificados de depósito) el valor presente viene determinado por los ingresos a percibir descontados a la fecha.  No se tienen en cuenta los volúmenes de oferta y demanda ni  el grado de liquidez del activo.

De acuerdo con lo expuesto por el profesor Myron Gordon el valor presente de una renta perpetua viene determinado por la siguiente expresión.  PV =  D*(1+g)^t/T  /  (r - g) donde: (PV) es el valor a la fecha del activo, (D) es el último dividendo, pago o cupón periódico del activo o a cobrar, (g) es la tasa de cambio o variación para D, (t) es el número de días que le faltan o exceden la fecha del dividendo a cobrar o último, (T) es el número total de días en el periodo de g, (r) es el tipo de descuento cuya periodicidad estará en función de D.

Con un caso real se ilustrará el planteamiento anterior.  El dividendo esperado de una acción a 1 de noviembre es de 0,1352 habitualmente el pago es trimestral.  La tasa de variación histórica trimestral es de 2,603080515024% y el tipo de descuento que aplica el mercado es de 4,2179221007304% trimestral. Saber el valor de esta acción a día 31 de octubre.

vp=0.1352 * (1,02603080515024)^-(1/92) / (0,042179221007304 - 0,02603080515024) = 8,37

El resultado anterior para que sea válido y compruebe el modelo debe coincidir con el valor real de mercado.  (g) debe calcularse a partir del histórico de dividendos y aplicando un promedio geométrico en las variaciones, si la periodicidad en los pagos no es constante hay que convertir las variaciones a tasa continua, sumarlas y luego convertirlas a tasa discreta diaria. Siempre se usará el dividendo decretado sino se conoce aún el último pagado, en el ejemplo falta 1 día para cobrarlo entonces se descuenta si ya se hubiera pagado se extrapola el valor a la fecha.

Cualquier aumento o reducción en el tipo de interés clave del Banco Central para operaciones intradía supondrá movimientos en la tasa de descuento en esa misma dirección. 

De todo lo anterior, se puede concluir que el precio de una acción puede verse depreciado por:  reducción en los dividendos futuros y en su tasa de variación, aumentos en el tipo de descuento consecuencia de la ILIQUIDEZ del activo o generalizada ya sea en el mercado bursátil o en la Economía en su conjunto. Asi mismo, estos aumentos en el tipo de descuento aplicado los puede causar la misma emisora del título debido a malos resultados en los ejercicios contables, INSOLVENCIA o declaración de BANCARROTA

Gracias!